DARSE CUENTA

El Teorema de Gödel

Mi humilde contribución a la confusión general.

Guillermo De Simone. 2009

Don Kurt Gödel (1906 – 1978) fue el autor de varios teoremas que pasaron casi inadvertidos fuera de los claustros académicos durante muchos años. De ellos el más célebre –e importante- es el “Teorema de la Incompletud” (qué nombre!) publicado en 1931. Este teorema de lógica matemática tiene la particularidad de trascender su ámbito natural hasta el punto de tener implicancias en todo el conocimiento científico. Este detalle lo ha convertido en una “fuente inagotable de abusos intelectuales” (Fashionable Nonsense: Postmodern Intellectuals' Abuse of Science by Alan Sokal and Jean Bricmont) tal es así que un Sr. llamado Torken Franzen publicó un libro llamado “Godel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse”

Qué dice el Teorema de la Incompletud de Gödel, 1931

Lejos de ser un exhaustivo análisis sobre las disquisiciones de don Kurt, el objetivo de este resumen es hacer las veces de disparador para que de vez en cuando reemplacemos el periplo hacia la heladera para buscar una cerveza por uno más tortuoso, pero no menos reconfortante, hacia la biblioteca (aunque más no sea digital).

Por lo tanto, no me pida peras que ni siquiera soy un árbol!

Si le interesa o no; si entiende o no, y en cualquiera de sus combinaciones acuda a los libros que no agreden –por lo menos físicamente- a no ser que sean blandidos por un amante despechado y con buena puntería.

Don Euclides, hace muchos siglos, partió de ciertos enunciados llamados “axiomas” y a partir de ellos se propuso deducir toda clase de conclusiones útiles. Euclides creó el juego y sus reglas; tenía la pelota y la cancha… “La menor cantidad de axiomas posibles” y que “los axiomas deben ser consistentes”, dijo. O sea, debe ser imposible deducir dos conclusiones que se contradigan mutuamente.

La geometría euclideana comienza con un conjunto de axiomas que no se discuten entre otras cosas porque Euclides lo dijo y él es el dueño de la pelota! Bueno lo era… y además son evidentes en sí mismos.

Durante siglos se aceptó que los axiomas de Euclides eran los únicos que podían constituir una geometría consistente y que por eso eran “verdaderos”.

Pero en el siglo XIX se demostró que se podían construir geometrías “no euclidianas” y consistentes! Ya no tiene sentido preguntar cuál geometría es la “verdadera”. Todas son verdaderas, por lo tanto hay que preguntar cuál es más “útil” y en qué circunstancia.

Toda la ciencia matemática se replanteó el concepto de “verdad”

Gödel presentó una demostración válida sobre lo que todos de alguna forma sabíamos. Pero una cosa es intuir algo, otra saberlo y una mucho más compleja es demostrarlo.

No todas las verdades matemáticas son alcanzables: en todo sistema matemático basado en un conjunto de axiomas siempre es posible hacer enunciados que no pueden demostrarse como ciertos o falsos, utilizando los axiomas “base”.

Dónde está el truco? En la autorreferencia. Se acuerda de aquella famosa frase de don Sócrates “sólo sé que no sé nada”; encierra una contradicción en sí misma. Bueno lo mismo ocurre un sistema matemático que pretenda ser consistente y completo a la vez.

Hay muchas anécdotas sobre preguntas de lógica matemática que desarman sistemas consistentes y completos basados en axiomas. Y aquí está el "Cisco Quid" de la cuestión: las palabras “completo” y “consistente”. Prescindiendo de la perorata, les comento una pregunta que puso en aprietos a toda la lógica matemática a comienzos del siglo XX. Cuenta la leyenda que en un pueblo todos los hombres se afeitaban (odio la palabra rasurar!) con el barbero o en su defecto se afeitaban a si mismos. Simple, no?... pero y el barbero? Se afeitaba a si mismo. En este caso también era afeitado por el barbero. O sea no cumplía con los axiomas sobre los que construimos nuestro pueblo sin barba; y esto muy Sres. míos en la lógica formal significa una inconsistencia… Imaginamos al pueblo confundido y reunido en asamblea popular para desentrañar a qué conjunto pertenecía el barbero…

Digámoslo de una vez y sin anestesia:

En el seno de las matemáticas existirá siempre una fórmula que, aunque verdadera no podrá ser demostrada! Existen recovecos en la ciencia exacta por antonomasia que nunca podrán ser descubiertos por la deducción!

Se nos cayó el mundo…

Nuestro mundo y el de muchos científicos…

Pero no desesperéis, que el mundo sigue andando a pesar nuestro y de nuestro ignorante conocimiento de sus vericuetos!

Qué no dice el Teorema de la Incompletud de Gödel, 1931

Como en el caso de Einstein y sus Teorías de la Relatividad (me refiero a la primera “Teoría de la Relatividad Especial” y a la segunda “Teoría de la Relatividad General”) y aquí hago un alto en el camino. Déjenme disfrutarlo. Porque estoy seguro que acá los agarré. Sí, lo estoy saboreando y lo tengo merecido, che! Dos teorías de la relatividad, seguro no lo sabían.

Bueno guardemos la descompostura y volvamos a lo nuestro.

Como en el caso de Einstein, con Kurty –permítanme tutearlo- se han escrito las cosas más disparatadas y las teorías más gratuitas de la historia!

Todavía se cita por allí la famosa frase de Einstein “Dios no juega a los dados”. Esta frase, muy probablemente cierta como lo sería Dios no juega al Bridge o al Tute, o al Backgamon es uno de los errores más importantes de la historia Einsteniana. Albertico la dijo en el contexto del anuncio del principio de incertidumbre de Heisenberg (“no se puede conocer con exactitud la velocidad y la posición de una partícula subatómica”. Si se conoce la velocidad se puede calcular una probabilidad sobre su posición y vicerveza, porque el método de medición modifica la velocidad o la posición) y sin embargo mucha gente la repite como una verdad revelada!

Kurty no dice que la matemática no sirve ni mucho menos que no sea cierta Solamente resalta sus limitaciones: como en el caso de nuestros ojos, que no se pueden ver a sí mismos o nuestra yema del dedo índice que no puede tocarse a sí misma –ni de adolescente- la matemática no puede demostrarse a sí misma utilizando los mismos axiomas. Algo así como intentar hacer con ladrillos y cemento un modelo completo del universo… faltan algunas cosas, no?

Tampoco dice que no podemos llegar, a la verdad ni que no se puede demostrar la realidad, y tanta “ciencia infección” que anda por allí (teléfono Matrix!)

Recuerden que se refiere a lógica formal y aquí está lo interesante: hay mucha gente con formación en ciencias sociales que es muy poco formal…(discúlpenme , me salió el ingeniero)

Gödel no dice que no podemos conocer la verdad, solo dice que no podemos deducir “toda la verdad”. Reconoce limitaciones al método deductivo; lo reconoce como incompleto pero perfectamente válido dentro de sus límites. Incompleto no quiere decir falso.

Nada dice sobre observaciones o mediciones como realizan la física y la astronomía, que aportan datos objetivos sobre cómo son las cosas. Tampoco dice que no podamos, algún día en una esquina cualquiera tropezarnos con la verdad y no lastimarnos!

Implicancias

Cuando Galileo dijo "el libro de la naturaleza está escrito con caracteres matemáticos" logró la aceptación tácita de los científicos de los siglos posteriores. Y probablemente sea así, aunque no podamos deducirlo! El “daño” que Gödel le ha hecho al método científico no tiene nombre…ya no se puede, escúchenme bien, es imposible que a partir de algunos axiomas básicos puedan deducirse todos los fenómenos de la naturaleza. Adiós al ideal del positivismo del siglo XIX, XX, XXX, etc.

Todo sistema racional de conocimientos es incompleto, por lo tanto aunque sea consistente no puede explicar a un universo que lo contiene… otra vez la autorreferencia!

La otra implicancia, y lamento ser el portador de las malas nuevas… (no, no disparen!) es que las computadoras nunca podrán dominarnos como en Terminator. Con los políticos y las mujeres –u hombres- nos alcanza! Tanto el hardware donde aún el más poderoso procesador tiene un número finito de transistores, como el software que está basado en unos pocos axiomas (el lenguaje de programación) cumplen de perillas con el teorema de Kurty!

Y de yapa les incluyo un párrafo de unos cuadernillos de la UNAM (Universidad de México) donde se hace referencia a la evolución de las PCs.

“ El teorema de Gödel ha sido utilizado para argumentar tanto a favor como en contra de que una computadora algún día llegará a ser tan inteligente como un ser humano. Los que afirman que la computadora nunca alcanzará la inteligencia de un humano argumentan que la amplitud de los conocimientos y capacidades de la máquina están limitados por un conjunto de axiomas finito y por lo tanto debe de obedecer al teorema de Gödel, mientras que el humano no tiene estas limitaciones y puede descubrir verdades inesperadas. Los oponentes de esta postura argumentan que también la mente humana es finita y por lo tanto también está sujeta al teorema de Gödel, por lo cual algún día, por lejano que éste sea, se construirá una computadora cuyos componentes sean del mismo orden de magnitud a los de la mente humana o todavía mayores.

Nuevamente esta especulación sobre si la mente humana funciona con base en un conjunto finito de axiomas nos lleva, como llevó al propio Gödel, a considerar aspectos que sólo podrían calificarse como pertenecientes al misticismo.

Vida artificial es una rama de la informática que pretende crear sistemas vivos que residan completamente en una computadora. Los elementos de estas especies virtuales exhibirían todas las características de los seres vivos incluyendo su evolución. El teorema de Gödel es difícil de interpretar en este contexto, pues la definición misma de vida (como también la definición de inteligencia) no puede considerarse todavía como bien establecida, clara y consistente. Sin embargo, intentemos plantear algunas cuestiones especulativas interesantes.

El propio Gödel afirmó que el mecanicismo en la biología puede demostrarse matemáticamente como falso; sin embargo, nunca realizó tal demostración. Es posible que los avances de vida artificial lleven a la demostración postulada por Gödel. Es probable que los avances de las investigaciones de esta disciplina estén todavía lejos de resolver completamente la pregunta “¿qué es la vida?”. Es posible también que esta pregunta no tenga respuesta o que sea la pregunta equivocada. Pero cualquier intento de responderla, desde los proyectos más modestos que sólo pretenden explicar qué es la vida, hasta los más ambiciosos que desean sintetizarla, nos dan mucho material para especular y nos acercan a una mejor comprensión del mundo en el que vivimos y de nuestra posición en él.

MENTE Y CONCIENCIA

La sección anterior nos obliga a plantearnos preguntas como ¿qué es mi mente? y ¿qué es mi conciencia?

Muchos científicos piensan que el cerebro humano, constituido por un número acotado de neuronas e interacciones electro-químicas, es la base de un sistema formal increíblemente sofisticado, pero basado en un conjunto finito de reglas y axiomas. Si esto fuera cierto, entonces el teorema de Gödel implicaría que existen hechos que son verdaderos, pero que nuestra mente nunca podrá demostrar o creer o ni siquiera concebir.

No hace demasiado tiempo aparecieron en la ciencia occidental ideas especulativas de que la conciencia es mayor que el universo y que el universo entero está contenido dentro de la conciencia. Esta es una idea antigua en oriente en donde se considera factible, e incluso frecuente, el proceso de iluminación mediante el cual el individuo abre los “párpados espirituales”, despierta de la inconciencia y toma posesión de la conciencia universal. Según el budismo, el hinduismo, el yoga y otras filosofías orientales es entonces a través de la conciencia que llegaremos a la comprensión del universo.

Para efectos de la aplicación del teorema de Gödel la pregunta entonces es si el universo es finito o infinito. Si aceptamos los infinitos, entonces el teorema de Gödel no se aplica y nuevamente nos vemos obligados a considerar opciones místicas para explicarnos lo inexplicable. En cambio, en el otro caso el resultado de Gödel se puede aplicar y encontramos la autoreferencia observando que tanto la conciencia como el universo son finitos y, por lo tanto, la unión de ambos representa un nuevo sistema o nuevo universo que debemos “entender” (si es que esta palabra todavía tiene sentido). Este proceso continúa indefinidamente de manera iterativa estableciendo por medio de la autoreferencia las limitaciones a mente y conciencia.

Las limitantes impuestas por el teorema de Gödel en este último caso implican que nunca seremos capaces de conocernos a nosotros mismos. La máxima “conócete a ti mismo” es inalcanzable, pues nuestra mente, como cualquier otro sistema cerrado y acotado, sólo puede conocerse a sí misma apoyándose tan sólo en lo que ya conoce de sí misma. Hay varias analogías que permiten entender porqué nuestra mente nunca llegará a entender a nuestra mente completamente. La primera es la ya citada de la yema de un dedo, la parte más sensitiva de nuestra piel, que nunca puede tocarse a sí misma. Otra es que nuestros ojos nunca pueden verse a sí mismos y a lo más que pueden aspirar es ver su reflexión en un espejo, lo que no es igual a verse a sí mismos. La última es que el cerebro, el órgano que registra el dolor, es completamente insensible al mismo.

El teorema de Gödel sugiere que una vez que nuestra habilidad para representar simbólicamente nuestras propias estructuras llega a cierto umbral crítico, hemos llegado al final del camino. El resto del territorio es inaccesible y nunca seremos capaces de comprendernos totalmente.

¿Cómo puedes saber que no estás loco? Plantearte esta pregunta es muy peligroso, pues a partir del momento que empiezas seriamente a cuestionar tu propia salud mental entras en el laberinto, caes en el remolino de las profecías autorealizables y sigues el camino del “irás y no volverás”. Todos sabemos que un loco interpreta al mundo a través de su propia y peculiar lógica y que, para él, esta lógica es consistente. ¿Cómo puedes saber que tu lógica no es “peculiar”, si la única herramienta a tu disposición para responder a la pregunta es justamente esa lógica? De nuevo nos hallamos ante la autoreferencia que habita en las entrañas del teorema de Gödel. La respuesta es indecidible. ¿Quiénes son los locos, los que están dentro del manicomio o los que están afuera? Esto nos recuerda al segundo teorema de Gödel que dice que aquellas versiones formales de la aritmética que afirman su consistencia son inconsistentes.

La lección principal que podemos sacar del teorema de Gödel es que las posibilidades de la autoreflexión tienen ciertos límites impuestos por la consistencia y que esto parece ser cierto tanto para sistemas lógicos formales como para la mente humana. Cuando aplicamos el teorema a la mente concluimos que existen obstáculos esenciales sobre nuestra capacidad de autocomprensión. Tenemos que admitir que ciertas verdades sobre nosotros mismos permanecerán siempre ocultas, si la imagen que tenemos de nosotros mismos debe de permanecer consistente. En particular preguntas como ¿quién soy?, ¿qué quiero? o ¿porqué estoy aquí? no encontrarán una respuesta completa dentro de nuestra propia mente.

Etiquetas: Bricmont, Euclides, Gödel, Incompletud, Sócrates, Sokal

# entrada de Jorge R. Herrendorf @ 16:46